第二十四章 圆（知识归纳+题型突破）（十一大题型，176题）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十四章 圆（知识归纳+题型突破） 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系. 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 4.了解三角形的内心与外心. 5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念(例75) . 6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形. 7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线(例76) . 8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等. 9.会计算圆的弧长、扇形的面积. 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 一、圆的基本性质 1.与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二 ：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 1 弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三 .关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 3.圆心角、弧、弦的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4.圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： 1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补. 二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d<r ⇔点在⊙O内；(2)d＝r ⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 2.直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 3.切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4.切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 5.切线长 （1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 6.三角形的外接圆 图形 相关概念 圆心的确定 内、外心的性质 经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形 三角形三条垂直平分线的交点 到三角形的三个顶点的距离相等 7.三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形 到三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 三、正多边形和圆 1.正多边形与圆 （1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①. （2）特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2 四、弧长和扇形面积的计算 1..弧长和扇形面积的计算 扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝ 2.圆锥与侧面展开图 （1）圆锥侧