2.2.1直线的点斜式方程（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.1 直线的点斜式方程导学案 学习目标 1.了解直线方程的点斜式的推导过程． 2.掌握直线方程的点斜式并会应用． 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念． 重点难点 (1) 掌握直线方程的点斜式并会应用 (2) 掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念． 课前预习 自主梳理 1．直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距__ 图示 方程形式 y－y0＝___________ ____________ 适用条件 斜率存在 2.直线在轴上的截距 定义:直线与轴的交点的纵坐标. 符号:可正,可负,也可为零. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)方程与表示的意义相同. ( ) (2)直线恒过定点 ( ) (3)经过的任意直线方程可表示为. ( ) (4)直线在轴上的截距是直线与轴的交点到原点的距离. ( ) (5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 【解析】 (1)错误.方程表示的图形中没有点. (2)正确.由直线方程的点斜式知,方程表示过点,斜率为的直线. (3)错误.当直线的斜率存在时,可表示为;当直线的斜率不存在时,不能表示为点斜式方程,其方程可表示为. (4)错误.直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐标,而不是距离. (5)错误.垂直于轴的直线的倾斜角为,即斜率不存在,没有点斜式和斜截式方程. 2.方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 【答案】C 【分析】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在，可得结论． 【详解】由方程y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在． 故选C． 【点睛】本题考查恒过定点的直线，容易误选B． 3.过点且斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出直线的点斜式方程，而后化成斜截式方程选出答案即可. 【详解】因为直线过点且斜率为2，所以直线方程为： ，化简得：. 故选：D 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题. 4.直线在轴上的截距是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求直线与轴的交点即可得出结果. 【详解】直线方程为 令 ，得 所以直线在轴上的截距是. 故选C. 【点睛】本题考查直线的的基本性质，属于基础题. 5.直线恒过一定点，则此点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线化为点斜式为：， ∴直线恒过一定点. 故选：C. 新课导学 学习探究 环节一创设情境，引入课题 问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的.那么，这个关系如何表示呢？ 下面我们就来研究这个问题. 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的．那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题． 如图2.1-1，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 师生活动：画出如图2.2-1的图示，学生在独立思考的基础上进行交流,通过讨论由斜率公式得到由斜率公式得，即． 环节二 观察分析，感知概念 点的坐标满足关系式吗？ 由上述推导过程可知： （1）直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，我们还可以验证 （2）坐标满足关系式的每一个点都在直线上． 设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的. 事实上，若点的坐标，满足关系式，则． 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为． 因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上． 由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线上； 直线上任意一点的坐标一定满足关系式． 我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程．