5.7 三角函数的应用（课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 高中数学/人教A版/必修一 1 引子 　　 现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用. 12 8 例1.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数 T/℃ 10 20 30 O t/h 6 10 14 （1）求这一天6～14时的最大温差. （2）写出这段曲线的函数解析式. 1 根据图象建立三角函数关系 　　 解:（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20 ℃. （2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象， 所以 因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故 故所求函数解析式为 方法总结 利用图象的最高点或最低点，即点的坐标满足函数解析式可求得φ，注意通常|φ|≤π. 　　 练一练 　答案：B 　　 解：函数图象如图所示 从图中可以看出，函数 是以π为周期的波浪形曲线. y＝|sinx| x y O 1 -1 2 根据解析式模型建立图象模型 例2.画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期. 由于 所以，函数 是以π为周期的函数. 我们也可以这样进行验证： 利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用方法. 练一练 答案：C 3 将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型 例3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨 潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋， 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函 数关系，给出整点时的水深的近似数值. （精确到0.001） (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的 距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在 2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的 水域？ 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系 中画出散点图. 根据图象，可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出： A=2.5,h=5,T=12, =0; 由 ,得 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为： 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值： 时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.750 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所 以当y≥5.5时就可以进港.令 化简得 由计算器计算可得 解得 因为 ，所以由函数周期性易得 因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以 看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点. 通过计算也可以得到这个结果，在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4