2.5第1课时等腰三角形的性质与判定（十一大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》 2.4 等腰三角形的轴对称性 第1课时 等腰三角形的性质和判定 知识点一 等腰三角形的性质 ◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 知识点二 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： ◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ◆3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. 题型一 利用等腰三角形的性质求角的度数 【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（　　） A．36° B．60° C．72° D．80° 解题技巧提炼 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝　 　°． 【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝　 　． 【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．30° B．32° C．34° D．36° 【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝CA，连接AD，若∠D＝25°，求∠BAC的度数． 题型二 利用等腰三角形的性质求线段长 【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 解题技巧提炼 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（　　） A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm 【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 题型三 等腰三角形中的多结论判断问题 【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题技巧提炼 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②