第29讲 等比数列（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第29讲 等比数列（精讲） 题型目录一览 ①等比数列基本量的计算 ②等比数列的性质及其应用 ③等比数列的前n项和 ④等比数列中中与的关系 ⑤等比数列的函数特性 ⑥等比数列的判定与证明 一、知识点梳理 一、等比数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2.等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、等比数列的有关公式 1.等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 2.等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 三、等比数列的性质 1.等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2.等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3.其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1.若，则． 2.若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4. 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 二、题型分类精讲 题型一 等比数列基本量的计算 题型一 等比数列基本量的计算 策略方法 等比数列基本量运算的解题策略 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． 【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设是等比数列，且，，则（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 4．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．9或70 D．9或 5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（    ） A．400 B．500 C．600 D．800 6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知是等比数列，则“”是“数列的公比为3”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．30 B． C．40 D． 9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列满足，则的最小值是（    ） A．4 B．9 C．6 D．8 二、填空题 11．（2023·四川成都·三模）在等比数列中，若，则的值为 ． 12．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列满足，若，则 ． 13．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比 . 14．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则