2.4 线段、角的轴对称性（第2课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章 · 轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第2课时　线段垂直平分线的判定 学习目标 1.探索并理解线段垂直平分线是具有特殊性质得点的集合； 2.能运用线段垂直平分线的判定定理解决问题； 3.会用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线. 问题情景 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段________的距离相等. 两端 反过来， 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？ ● ● A B 探索与思考 操作 在一张薄纸上画一条线段AB． 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 思考1 你能在线段AB上找到一点到线段AB两端距离相等吗？ ● ● A B ● O 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 线段AB的中点 思考2 你能在线段AB外找到一点到线段AB两端距离相等吗？ ● ● A B 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 以线段AB为底边的等腰三角形的顶点 ● P1 思考3 这样的点你能找到多少个？ ● ● A B 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 ● P1 ● P2 ● P3 ● P3 无数个 这些点有什么特征？ 在同一条直线上 猜想：这条直线与线段AB有什么关系？ 折一折 这条直线是线段AB的垂直平分线 思考4 怎样证明你的猜测呢？小组合作完成猜想的证明． 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 ● ● A B ● P 已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． ● O 证明：过点P 作AB 的垂线PO，垂足为点O． 则∠POA =∠POB =90°． 在Rt△POA 和Rt△POB 中， ∴ Rt△POA ≌Rt△POB（HL）． ∴ AO =BO． 又 PO⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 你还有其他的证明方法吗？ 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 ● ● A B ● P ● O 方法2：取线段AB的中点为O，连接PO并延长. 在△POA和△POB中, ∴△POA≌△POB(SSS)， ∴∠POA=∠POB， ∵∠POA+∠POB=180°， ∴2∠POA=180°,∠POA=90°. ∴PO⊥AB. ∵ AO =BO， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 你还有其他的证明方法吗？ 探索与思考 活动一 探究“到线段两端距离相等的点”与“线段的垂直平分线”之间的关系 ● ● A B ● P ● O 方法3:作∠APB的角平分线所在的直线PO,交AB于点O. ∵∠POA+∠POB=180°， ∴2∠POA=180°,∠POA=90°. ∴PO⊥AB. ∵ AO =BO， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∴ △POA ≌△POB（SAS）． ∴ ∠POA=∠POB，AO =BO. 在△POA 和△POB 中， 到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上． 新知归纳 线段的垂直平分线的判定定理： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上）. 符号语言： ● ● A B ● P 用途： 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合． 思考1 若PA=PB，过点P作直线l，则l是线段AB的垂直平分线吗？ 探索与思考 ● ● A B ● P 不一定是，经过一点的直线有无数条. 活动二 探究用直尺和圆规作线段的垂直平分线的方法 思考2 若PA=PB，同时MA=MB，则直线PM是线段AB的垂直平分线吗？ 探索与思考 ● ● A B ● P ● M 是，理由：两点确定一条直线. ∵PA =PB，MA =MB， ∴点P、M均在线段AB的垂直平分线上.　 根据两点确定一条直线， ∴直线PM垂直平分线段AB. 判定线段垂直平分线的方法 活动二 探究用直尺和圆规作线段的垂直平分线的方法 思考3 你能用尺规画出任一条已知线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据． 探索与思考 ● ● A B 活动二 探究用直尺和圆规作线段的垂直平分线的方法 作法： 1.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D． ● C ● D 2.过C、D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线． 例题讲解 例 已知：如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O.