第1章全等三角形--半角模型+手拉手模型 2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（半角模型+手拉手模型） 【典型例题】 题型一：半角模型 方法点拨： 【例题】如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 　　　． 【变式训练】 1.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB＝4，BM＝2，则MN的长为　 　． 2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN. (1)求证：MN＝BM＋NC； (2)求△AMN的周长． 3.问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． 【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73） 4.（1）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长CD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证△ADG≌△ABE，再证明△AFE≌△AFG，从而得出线段BE、EF、FD之间的数量关系是 　 　； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以36海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以60海里/小时的速度前进．1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且恰好与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离． 题型二：手拉手模型（一般利用SAS证明三角形全等） 方法点拨： 【例题】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【变式训练】 1.如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 2、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G． （1）若CG＝4，求DG的长； （2）若CG＝BD，求证：AB＝AC+CE． 3、已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°． （1）如图1，点E、B、C三点在一条直线上，连接AE，若∠AEC＝30°，BC＝4，求BE的长． （2）如图2，将△BDE以点B为旋转中心顺时针旋转，当C在ED延长线上时，EC交AB于点H．求证：∠BAE＝2∠BCH． 4.在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上： ①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °； ②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论． 【过关检测】 1、 选择题 1.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三