阅读与思考：猜想、证明与拓广 教学设计2023-2024学年北师大版 数学九年级上册

九上综合与实践-…《综合与实践》教学设计 一、教学目标 1.知识与技能：（1)经历猜想、证明、拓广的过程， 增强问题意 识和自主 探素意识，获得探索和发现的体验， (2)在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内 在联系，形成对数学的整体性认识， 2.过程与方法：在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思 想方法，体会证明的必要性！ 3情感、态度与价值观：在合作交流中扩展思路，发展学生的推理 能力. 4.数学活动经验：通过对一个开放性、探究性的课题的不断探索 经历实验、猜想、修正、证明、拓广等数学活动，积累研究数学问题的 经验和方法 二、教学重点难点 (1)重点：通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和 发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法， (2)难点：不断发现问题、提出问题、解决问题的策略和方法， 三、教学设计 1.创设情境，引入新课 (多媒体小视频)著名的七桥问题：一个步行者能否不重复、 不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点伟大的数学家欧拉通过研 究认为他是否定的，但欧拉并没有停止研究的脚步，而是进一步的改变 其中的条件，继续研究，把它拓广成一个几何问题-一笔画问题在这 个问题的层发下，开创了数学新一分支-一拓扑学而拓扑学现在被广泛 的应用在物理和化学等学科.那我们也继续探索的脚步，进行这节课的 猜想、证明与拓广（板书课题） 2探究活动一：初步感知探究模式 问题一：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周 长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍， 先由学生直观感受判断是否存在，然后请同学谈一谈自己的想法， 并说明理由.引导学生先举例验证是否存在，然后猜想结论是：一定不 存在. 教师追问：举例验证的结论就一定正确吗？请同学证明自己的猜 想 教师总结学生的方法：（多媒体展示） 解：设给定的正方形的边长为a,则其周长为4a,面积为a2,若面 积变为2a2,则其边长应为5a,此时周长应为4a,它不是已知给定的正 方形的周长的2倍 同时也可以利用相似图形面积比是相似比的平方来证明，而利用相似的 性质不仅仅可以解决正方形的问题，其实所有两个相似的多边形都不可 能存在其中一个的周长和面积同时是另一个多边形的2倍. 探究总结：我们是如何从特殊到一般来研究问题的，引入可以借助 代替所有数的字母或者利用已知的定理和定义来证明. 3探究活动二：运用模式尝试探索 问题二：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积 分别是已知矩形周长和面积的2倍？ 先由学生直观感受判断是否存在，受到第一个问题的影响，学生会 认为是不存在的.引导学生列举实例进行验证，可以借助几何画板动态 的演示，帮助学生纠正两个矩形相似的误区. 我们先利用实例来验证这个问题，给出三种不同的矩形，三选一， 或者自己设计，以小组为单位进行讨论，选一位代表进行展示. 方法多种多样，充分展示，教师及时总结： 以长为2，宽为1的矩形为例，学生可能出现的方法有： ①先固定所求矩形的周长，设另一个矩形的长为X,将问题化为方 程x(6一x)=4是否有解的问题. ②先固定所求矩形的面积，设另一个矩形的长为x,将问题转化为 方程x+4=6是否有解的问题， ③可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1，那么其周长和面积分 别为6和2，所求矩形的周长和面积应分别为12和4，设其长和宽分别 灯=4然后讨论它的解是否符合题意。 为x和y,则得方程组+y=6 以上方法都有可以转化为一元二次方程是否有解的问题. ④可以转为函数y=·x+6和y=4两个图像交点的问题， ⑤因为周长为12的矩形面积是S,而0<S￡9，因此存在一个面积 是4的矩形. ⑥可以利用韦达定理转化为一元二次方程x2.6x+4=0解的问题 肯定学生的方法，进行总结引导学生体会数学知识之间的关系和转 化。 4.探究结论的证明：证明问题二 当已知矩形的长和宽分别为和m时，是否仍然有相同的结论呢？ 引导学生经过猜想、证明、从而推广到一般引入字母，进行计算， 以小组为单位完成.（计算难度较大，可以幻灯片展示过程》 解：当已知矩形的长和宽分别为n和时，那么其周长和面积分 别为2(m+n)和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设 所求矩形的一边长为x,那么另一边长为2(m+n)-x,根据题意，得× [2(m+n)-x]=2mn. 整理得： x2-2(m+n)x+2mn=0 解得 x=m+n+vm2+n2,x=m+n-m2+n2. 经检验x1,x2符合题意，所以存在一个矩形，它的一边长为 m+n+√m2+n2,另一为m+n√m2+n2. 5.探究活动三：积累经验独立探究 产生新的思维碰撞，引导学生在刚中的问题基础上继续拓广，引出 问题三， 问题三：任意给定一个矩形.是否一定存在另一个矩