重难点10空间距离与体积问题（2种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点10空间距离与体积问题（2种考法） 【目录】 考法1：距离问题 考法2：体积问题 二、命题规律与备考策略 一.求点到平面的距离的四步骤 二、常见几何体体积的四种求法 1.直接法求体积（也称公式法） 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。 可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到 2.等体积法求三棱锥体积 1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。 2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。 【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。 3.多面体割补法求体积 1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时， 再将其分割没转化成比较好求体积的几何体； 【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥 多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口” 2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算； 常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体； （2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体； （3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； （4）将台体补成锥体等等。 【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。 4.两部分体积比例法（转移法） 利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。 【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。 考法1：距离问题三、题型方法 1．（2023•新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点． （1）证明：EF∥平面PAD； （2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离． 2．（2023•陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求点F到平面EDB的距离． 3．（2023•贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点． （1）证明：EF∥平面PCD． （2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求点C到平面DEF的距离． 4．（2023•天津模拟）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2． （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （2）求二面角E一BC一F的正弦值； （3）求直线AD到平面EBC的距离． 5．（2023•喀什地区模拟）如图，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分别为P′B，P′A的中点，将△P′CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到面ACE的距离． 6．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点． （1）证明：PE∥平面BFG； （2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离． 7．（2023•凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝2，且直线PD与底面ABCD所成的角为． （1）求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）求点C到平面PBD的距离． 8．（2023•江西模拟）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，P为BB1的中点，M为B1C1的中点， （1）求证：D1M∥平面A1DP； （2）若AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，求M到平面A1DP的距离． 9．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2． （1）证明：平面PBC⊥平面PBD； （2）求点D到平面PBC的距离． 10．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD． （1）证明：BD⊥PC； （2）若，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离． 11．（2023•阿勒泰地区三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图①，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②． （1）证明：CP⊥DE； （2）若CE⊥平面DEP，且AB＝2，求点C到平面PBD的距离． 12．（2023•射洪