2.4 线段、角的轴对称性（第3课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章 · 轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第3课时　角平分线的性质与判定 学习目标 1. 探索并证明角平分线的性质定理和判定定理； 2.了解角平分线是具有特殊性质的点的集合. 知识回顾 1.下图中表示点P到直线l的距离的是________________. 线段PC的长 点到直线的距离是指： 点到直线的垂线段的长度. ● P ● A ● B ● D ● C 2. 如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么____________； 反过来，如果QA=QB，那么点Q在______________________. PA=PB 线段AB的垂直平分线上 探索与思考 操作1 在一张薄纸上画∠AOB． 活动一 探究角的轴对称性 O B A 探索与思考 活动一 探究角的轴对称性 操作2 折叠纸片使角的两边重合． B A O 思考 它是轴对称图形吗？对称轴在哪里？如何描述角的对称轴？ 探索与思考 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 活动一 探究角的轴对称性 O B A 探索与思考 活动二 探究角平分线性质 操作1 在折痕上任取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD. O B A ● P D E 探索与思考 活动二 探究角平分线性质 操作2 沿原折痕折叠，你有什么发现？ O B A ● P D E 点D和点E重合，PD=PE. 探索与思考 活动二 探究角平分线性质 思考1 你能利用角的轴对称性验证你的结论吗？ O B A ● P D E 理由如下： 把△POD沿OP翻折， ∵∠AOP=∠BOP， ∴OA与OB重合． ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”， ∴PD与PE重合， ∴PD=PE． 探索与思考 活动二 探究角平分线性质 思考2 你还有其他的证明方法吗？ O B A ● P D E 三角形全等 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠AOP=∠BOP 在△PDO和△PEO中， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 探索与思考 活动二 探究角平分线性质 思考3 像这样的点P还有吗？为什么？ O B A ● P D E ● P1 D1 E1 ● P2 D2 E2 ● P2 D3 E3 还有，无数个 新知归纳 角平分线的性质定理： 角平分线上的点 到角两边的距离相等． O A B C P D E P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE（角平分线上的点 到角两边的距离相等）. 符号语言： 注意：一定要表明是两条垂线段. 用途： 推出相等的线段. 新知巩固 （1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ). 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 判断下列的写法是否正确？ 理由： 没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离. 新知巩固 (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 理由： 无法确定点D在∠BAC的平分线上. 在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可． 探索与思考 活动三 探究角平分线的判定方法 O B A ● Q D E 讨论1：你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？ 小组讨论 探索与思考 活动三 探究角平分线的判定方法 O B A ● Q D E 猜想：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上. 这个命题是真的吗？如果是假的，怎么修改能成为真的呢？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 探索与思考 活动三 探究角平分线的判定方法 O B A ● Q D E 求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA， QE⊥OB，且QD＝QE， 求证：点Q在∠AOB的角平分线上. 探索与思考 活动三 探究角平分线的判定方法 O B A ● D E 证明：连接OQ． ∵QD⊥OA，QE⊥OB， ∴∠ODQ =∠OEQ =90°． 在Rt△ODQ 和Rt△OEQ 中， ∴ Rt△ODQ ≌Rt△OEQ(HL)． ∴ ∠DOQ =∠EOQ． ∴ 点Q在∠AOB 的平分线上． Q 求证：角的