15.2线段的垂直平分线-线段垂直平分线的应用 课件 2023--2024学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级上册数学 线段垂直平分线的应用 判断线段垂直平分线 判断线段垂直平分线的依据： 线段垂直平分线的定义 线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 直线 l⊥AB，AC=BC 直线 l 垂直平分线段AB A B C l 中点 垂直 ，又称“中垂线”． 方法归纳：若已知一条直线经过线段的中点并且垂直这条线段，则根据垂直平分线的定义，即可判断直线是线段的垂直平分线. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. A B C DA=DB，EA=EB DE垂直平分线段AB l D E 方法归纳：根据此定理，若两点分别到一条线段两端点距离相等，则两点的连线即是线段的垂直平分线. 点D，E都在线段AB的垂直平分线上 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点（两交点位于线段的两侧）. 连接这两个交点. 用尺规作线段的垂直平分线 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． A B C D O 法一 △ABC≌△ABD ∠CAB=∠DAB △AOC≌△AOD ∠COA=∠DOA=90° OC=OD AB垂直平分CD 分析： 线段垂直平分线的定义 AB⊥CD， AB平分CD 需证 7 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． 法一 证明： ∵AC=AD，BC=BD，AB=AB ∴△ABC≌△ABD（SSS） ∴∠CAB=∠DAB 又∵AC=AD， AO=AO ∴△AOC≌△AOD（SAS） ∴∠COA=∠DOA=90°， OC=OD ∴ AB⊥CD，点O是CD的中点 ∴ AB垂直平分CD A B C D O 两次全等 根据定义证明线段的垂直平分线 (SSS) (SAS) 8 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． A B C D O 法二： △ABC≌△ABD △CAD是等腰三角形 ∠CAB=∠DAB AO是∠CAD的角平分线 AO是△CAD的高线，也是CD的中线 AB垂直平分CD 分析： 线段垂直平分线的定义 AB⊥CD， AB平分CD 需证 等腰三角形三线合一 9 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． 法二 ∵AC=AD，BC=BD，AB=AB ∴△ABC≌△ABD（SSS） ∴∠CAB=∠DAB ∴AO是∠CAD的角平分线 ∵ AC=AD ∴△CAD是等腰三角形 ∴AO是△CAD的高线，也是CD的中线 ∴ AB垂直平分CD A B C D O 证明： 一次全等 等腰三角形三线合一 根据定义证明线段的垂直平分线 10 A B C D O 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． 法三 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上 点A，B都在线段CD的垂直平分线上 分析： AB垂直平分CD 11 A B C D O 例 如图，四边形ADCB中，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD． 法三 ∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上 ∵ BC=BD ∴点B在CD的垂直平分线上 ∴点A与点B所在的直线是CD的垂直平分线 ∴ AB垂直平分CD 证明： 小结：法一，法二都是从定义角度来判断线段垂直平分线，法三则是根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”来判断的.对比上述三个方法可发现方法三的证明更加简洁直接，因此要尝试选择最优解法提高逻辑思维能力． 12 例 如图，电信部门要在S区建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． A B O S m n 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 到角两边距离相等的点在角的平分线上 发射塔在线段AB的垂直平分线和m与n夹角的角平分线的交点处 连接点A,点B，发射塔在线段AB的垂直平分线上 发射塔在m与n夹角的角平分线上 分析： 13 例 如图，电信部门要在S区建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． A B O S m n 解： 连接AB 因为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以： 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画圆 得到两个交点 连接这两个交点 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 14