2024届高考数学重难点讲义系列之—含绝对值的二次函数综合问题

1 / 3 含绝对值二次函数综合问题 破解含绝对值二次函数综合问题，要思考解决以下几个方面的问题： 1.绝对值函数恒等变形困难，如何解决？ ①去绝对值将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等． ②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题． 2.参数的介入使难度升级，如何破解？ 分类讨论是解决含参问题的主要手段．参变分离或数形结合亦是有效的解决手段． 3.如何用好二次函数的图象性质特征？ 解决二次函数问题常见的抓手有：开口；对称轴；判别式；端点函数值． 一、分段讨论去绝对值是主要手段 例1.若函数在上单调递增,则实数m的取值范围是　.  例2. 设为实数，函数 （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值 二、数形结合巧转换 例3.已知函数. (1)当时,画出函数的图象; (2)当时,恒成立,求a的取值范围. 例4.已知函数的最小值为0,则a= (　 ) A. B.-1 C.±1 D.± 例5.已知函数,若,求函数在上的最大值. 三、绝对值三角不等式放缩可求特殊最值 例6.已知且,记的最大值为为，则的最大值为( ) A． B． C． D． 四、强化练习 1.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B.[-6,-4] C.[-3,-2] D.[-4,-3] 2.(多选题)已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),则下列结论正确的是 (　 ) A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递增 B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数 C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于直线x=1对称 D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点 3.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，，若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点，则实数a的取值范围是________． 4.已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0，且函数f(x)的值域为[0,4]，则实数m的取值范围是_________． 5.已知函数f(x)＝x|x－a|在[0,2]上的值域为[0,4]，则实数a的值是_________． 6.已知函数f(x)＝x＋2x－3，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是_________． 7.已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为 ． 8. 为实数,函数在区间上的最大值记为. 求的最小值. $$含绝对值二次函数综合问题 破解含绝对值二次函数综合问题，要思考解决以下几个方面的问题： 1.绝对值函数恒等变形困难，如何解决？ ①去绝对值将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等． ②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题． 2.参数的介入使难度升级，如何破解？ 分类讨论是解决含参问题的主要手段．参变分离或数形结合亦是有效的解决手段． 3.如何用好二次函数的图象性质特征？ 解决二次函数问题常见的抓手有：开口；对称轴；判别式；端点函数值． 一、分段讨论去绝对值是主要手段 例1.若函数f (x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】[-2,0] 【解析】当0≤x<1时,f (x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0;当x≥1时,f (x)=x2+mx-m,此时f (x)单调递增,则-≤1,则m≥-2.综上,实数m的取值范围是[-2,0]. 例2. 设为实数，函数 （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值 【解析】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数 （2） 当； 当； 当. 二、数形结合巧转换 例3.已知函数f(x)=|ax-2|x+3(a∈R). (1)当a=1时,画出函数y=f(x)的图象; (2)当x>0时,f(x)>x恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-2|x+3= 作出f(x)的图象如图所示. (2)①当a=0时,f(x)=2x+3,当x>0时,f(x)>x显然成立; ②当a<0时,由于x>0,故ax-2<0,故f(x)=-ax2+2x+3,f(x)>x可化为ax2-x-3<0,当x>0时该不等式恒成立; ③当a>0时，0<x≤,则f(x)=-ax2+2x+3,此时f(x)在上单调递增,在上单调递减, x>,则f(x)=ax2-2x+3,故f(