2023年第22届中国女子数学奥林匹克试题

2023年第 22届中国女子数学奥林匹克 福建 漳州 第一天 金华一中数学竞赛组整理 2023年 8月 12日 8:00-12:00 1．求所有的正整数组 ( , , )a b c ，使得 2 2 2a b c a b c   ． 2．在8 8 的网格图中，至少去掉多少条边才能使图中不存在边平行于网格 的矩形? 3．设实数 ]  , , , 0,1[a b c d  ，证明： 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 2a b b c c d d a abcd              ． 4．如图，在圆内接四边形 ABCD中， ,AC BD互相垂直且交于点 E．F是 AD上一点，延长 FE交四边形 ABCD的外接圆于点 P．在 PE上取点Q，使得 2PQ PF PE  ．过 Q作 AD的垂线交 BC于点 R，证明： RQ RP ． 每题 21分 2023年第 22届中国女子数学奥林匹克 福建 漳州 第二天 金华一中数学竞赛组整理 2023年 8月 13日 8:00-12:00 5．如图，在锐角 ABCD 中， AB AC ，AH是高，G是重心． ,P Q分别是 内切圆与 ,AB AC的切点， ,M N分别是   ,PB QC的中点．点   ,D E在内切圆上，满 足 180 , 180BDH ABC CEH ACB        ．证明： , ,MD NE HG三线共点． 6．设实数 1 2][2 ,2 , 1,2, , 2i iix i    ，求 1 2 22 1 2 22 1 1 1)(x x x x x x              的最大值． 7．设 p是奇质数，正整数   , , ,a b m r满足 p abŒ 且 2ab m ．证明：至多存在 一组互质的正整数 ,x y，使得 2 2 rax by mp  ． 8．设 , ( 1, 2, , 2023)( )i i iP x y i   是平面上 2023 个不同的点．对 i j ，定义 ( , )i j i j i jd P P x x y y    ．记 ) ) max ( , min ( , i ji j i ji j d P P d P P     ， 证明： 44  ，并给出一个使等号成立的例子． 每题 21分