2024年高考数学综合复习——不等式（一）等式与不等式综合复习

2024年高考数学综合复习 不等式（一） 等式与不等式综合复习 众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域。17 世纪，伽利略引入函数的概念以后，数学家们使用函数来描述两个变量间的关系 ，函数所体现的是“等量关系”。另一方面，为了处理函数值域的上下界等问题，也有数学家开始使用表达式来描述常量、变量内部及变量间的一类“不等关系”，这样的表达式通常用符号“”或“”连结，现在我们称之为不等式。 由于早期的数学并没有函数的概念、也没有形成“”或“”等符号，因此当时的不等式都是以文字来表述、使用“不足”“超过”等词语体现的，也有部分不等式是后人根据早期数学家发现的等量关系去掉某些部分得到的。毕达哥拉斯以后的古希腊数学，主要以几何为数学的基础。因此，下一个早期出现的不等式是几何的，在欧几里得（Euclid，约前330年-前275 年）的数学巨著《几何原本》（第一卷命题20）中——"三角形的两边之和大于第三边"。用不等式符号表述为：“在边长分别为三角形中，恒有”。近代以来，数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。自从著作《Inequalities》于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场， 成为一门新兴的数学学科， 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论。 高中阶段，不等式是数学课本中的重要组成部分，在考试中经常出现，是平时学习的重点。在高考中对不等式的考查，在老高考中主要是必考题（等式和不等式）和选考题（不等式选讲）两部分，在新高考中主要考查等式和不等式，且每年考试都占有相当大的比例，因此学生对此部分需要认真学习并加以掌握。 编者：贤岭村村长 2023.08.26 一、等式性质与不等式性质 1.基本事实 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么， 反过来也对。 这个基本事实可以表示为： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 2.等式的性质 （1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么； （4）如果，那么； （5）如果，那么. 3.不等式的基本性质 （1）如果，那么；如果，那么。即 （2）如果，那么。即 （3）如果，那么。 这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. （4）如果，那么； 如果，那么。 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质。 （5）如果，那么。 事实上，由和性质3，得；由和性质3，得.再根据性质2，即得。 利用性质4和性质2可以推出另外两条性质。 （6）如果，那么。 （7）如果，那么。 4.常见题型 （1）由已知条件判断所给不等式是否正确 通过已知条件进行分析，进而判断不等式的真假。 【例题】已知，下面四个结论： ①； ②若则的最小值为4； ③若，则； ④若，则的最小值为. 其中正确结论的序号是 .（把你认为正确的结论的序号都填上） 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 基本 （均值） 不等式的应用 基本不等式“1”的妙用求最值 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，由，得，然后变形后判断；对于②，变形后利用基本不等式判断；对于③，由不等式的性质判断；对于④，将展开由基本不等式可推导出结果. 【详解】对于①， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴①正确； 对于②， ∵ ， 所以， ∴ ， 当且仅当，即时取等号， 所以②错误； 对于③， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴③正确， 对于④， ∵ . 当且仅当 ， 即时取等号， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 当且仅当 时取等号， ∴④正确， 故答案为：①②③. （2）由不等式性质比较数（式）大小 结合不等式的性质，即可比较各数（式）的大小。 【例题】取整函数：不超过的最大整数，如.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有 1 A. C. B.，则 D. 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 函数新定义 【答案】ABD 【解析】 【分析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整函数的意义推理可判断BD. 【详解】由题意， A项， 当时，， 故A正确； B项， 若，设，则， ∴， 从而， B正确； C项， 当时， 则， C错误； D项 设，则， ∴或， 当时，， 此时 ， 当时， ， ， 综上，，