专题2.14 圆周角（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.14 圆周角（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】圆周角 1.圆周角定义： 　顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．像图中 ∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们都是圆周角。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【知识点二】圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点说明： 　　(1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 【知识点三】圆内接四边形 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 【考点一】圆周角➽➼概念理解与认识 【例1】下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案． 解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 【变式2】如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是（    ） A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可. 解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE 故选：C 【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键. 【考点二】圆周角➽➼圆周角定理➽➼求角★★求线段长★★证明 【例2】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的 结论． 【答案】等边三角形，见分析 【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状． 解：△ABC是等边三角形．证明如下： 由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°． ∴△ABC是等边三角形． 【点拨】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°． 【举一反三】 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC． （1）求证：∠A＝∠BCD； （2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）BE＝1． 【分析】（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接OC，结合已知求得OE的长即可求得答案. 解：（1）∵直径AB⊥弦CD， ∴, ∴∠A=∠BCD； （2）连接OC， ∵直径AB⊥弦CD，CD=6， ∴CE=ED=3， ∵直径AB=10， ∴CO=OB=5， 在Rt△COE中， ∵OC=5，CE=3， ∴OE==4， ∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1． 【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键. 【变式2】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠