2.3垂径定理 教案2022-2023学年湘教版数学九年级下册

2.3垂径定理教案 课题 2.3垂径定理 单元第二章圆 学科数学 年级 九年级 1、理解圆是轴对称图形.由圆的折叠活动猜想垂径定理，并进行证明」 学习 2、理解垂径定理，灵活运用垂径定理进行计算及证明 目标 3、 在探索垂径定理的过程中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力 重点 垂径定理及运用， 难点 应用垂径定理解决实际问题 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 知识回顾： 回顾圆的对 通过赵州石拱 1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你 称性。 桥引入本课.激 能找到多少条对称轴？ 发学生学习兴 2、同学们知道赵州桥吗？1400多年前.我国 趣，对学生进行 隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形， 爱国主义教育. 它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧 的中点到弦的距离.也叫弓形高)为7.2m,求 桥拱的半径（精确到0.1m). 你能解决这个关干赵州桥的问题吗？ 讲授新课 一、垂径定理的猜想与证明 1、请同学们剪一个圆形纸片，在圆形纸片 上任意画一条垂直干直径CD的弦AB,垂足为 动手操 通过学生的动 E,再将纸片沿着直径CD对折，请同学们比较 作，发现并 手操作发现并 AE与EB.AC与BC.MD与BD你能发现7 猜想， 归纳出垂径定 理 什么结论？ 因为圆是轴对称图形.将⊙O沿直径CD对 折，如图，可以发现AE与BE重合， AD分别与BC,BD重合. 即AE=BE, AC-BC.AD-BD. 你能用所学过的知识证明你的结论吗？ 2、探究垂径定理的证明。 请同学们先画出图形，再根据图形写出已 知、求证.小组讨论定理的证明过程 已知：直径CD,弦AB.且CDLAB,垂足 小组合作 通过定理的证 为点E 对定理进行 明.培养学生的 ⅓ 求证：AE=BE.AC=BC.AD=BD 证明. 逻辑推理能力 和合作探究精 猜想是否正确，还有待于证明.请同学生们 神。 从以下两方面寻找证明思路.①证明AE=BE” 可通过连结OA、OB来实现.利用等腰三角形 性质证明.②证明弧相等”就是要证明它们“能 够完全重合”，可利用圆的对称性证明 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进 行归纳.并将其命名为“垂径定理”：垂直干弦的 直径平分弦.并且平分弦所对的两条弧， 请同学们用所学的知识判断下列图形是否 具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什 么？ 判断是否 垂径定理的几个基本图形： 满足垂径定 进一步掌握 理 垂径定理 二、垂径定理的逆定理的探究 在下列五个条件中： ①CD是直径：②CD⊥AB:③AM=BM:④ 为C=BC:⑤月D=BD.只要具备其中两个 条件，就可推出其余三个结论.请试着写出这样 的命题.你可以写出相应的命题吗？ 请小组讨论写出你的条件和结论.并写出用 语言叙述的命题， 3、例1如图.弦AB=8cm,CD是⊙O 的直径，CD LAB.垂足为E,DE=2cm,求⊙ O的直径CD的长 例2证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等 小组合作讨论：弦和圆心的位置关系有几种 情况？根据讨论画出图形并证明结论 已知：如图.在⊙O中，弦AB与弦CD平 行 完成例1、 运用垂径定 求证：AC=BD 例2. 理进行计算及 证明. 请根据例2的证明归纳出结论 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 三、应用垂径定理解决实际问题 如何解决“赵州桥”的问题： 37.4 7.2 如图，OA=OC=R, 进一步理解和 OD=OC-CD=R-7.2,AB=18.7. 掌握二次函数 AD2+OD2-OA2 y=a (x-h)2 即：18.72+(R-7.2)2=R2 的图象和性质。 R≈27.9(m. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 归纳：应用垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆 心到弦的距离)，弓形高h的计算题，常常通过 连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定 完成赵州 能应用垂径定 理和勾股定理求解 拱桥的问 理解决实际问 山4-w1 题， 题 B 弓形中重要数量关系 弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有 以下关系：d+h=r产=d+(学 C h D d 0 对垂径定 培养学生归纳 理和弓形中 总结的能力， 的计算进行 总结 1、半径为4cm的⊙0中.弦AB=4cm, 学生先自主 通过练习的解 那么圆心O到弦AB的距离是 cm 思考，完成 决进一步掌握 2、⊙0的直径为10cm.圆心O到弦AB 后小组交流 垂径定理，并能 的距离为3cm,则弦AB的长是 展示成果 运用定理解决 cm. 有关的问题 3、半径为2cm的圆中，过半径中点且垂 直干这条半径的弦长是 cm. 4、如图，已知AB为⊙O的直径，点D是 弦AC的中点.BC=8cm,求OD的长. 5、如图.⊙O的直径