1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用(2) 一用空间向量研究距离、夹角问题 第二课时 复习导入： 1.点到直线的距离公式： P-V巡-议-2-[【a=Va2-(a2 =Va2-(a,明 2.两条平行直线之间的距 离： 可转化为求其中一条直 线上的点到另一条直线 的距离， 3点到平面的距离公式： PO=o=识 n 次_识列 4.直线与平面平行时，直 线与平面的距离可以转 化为直线上 的任意一点到平面的距 离 5.平面与平面平行时，两 个平面间的距离可以转 化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离 6.两异面直线所成的角是 如何定义的？ 已知两条异面直线α，b,经过空间任一点O分别作直线 a'∥a,b'∥b, a 把a'与b'所成的锐角或直角叫做异面 直线a与b所成的角（或夹角）， 其范围是 0 学习新课： 与距离类似，角度是立 体几何中另一个重要的 度量. 下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与 平面所成的角以及平面与平面的夹角. 1.异面直线所成的角及直线与平面所成的角 例7.如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中， M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值， 分析：求直线AM和CN夹角的余弦值， 可以转化为求向量与CX夹角的余弦值 为此需要把向量风C用适当的基底表示出来 进而求得向量，CX的夹角的余弦值 解：如图，以C风C&C作为基底，则 化为向量问题 M=MNN=2C+风 =)8 设向量C义凶的夹角为0，则 直线AM和CN夹角的余弦值等于cos0 X=+9N28 进行向量运算 8-48+0N4汉8 11 111 28482 又△ABC和△ACD均为边长为 的等边三角形， M-背w0- C· 、2 回到图形∴.直线AM和CN夹角的余弦值为 思考： 以上我们用向量方法解 决了直线AM和CN所成角的问题， 你能用向量的方法求直 线AB与平面BCD所成的角吗？ ()用向量方法解决异面 直线所成的角的问题 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的 方向向量的夹角来求得，也就是说， 若异面直线1，l,所成的角为0，其方向向量分别为远，立，则 cos0=eos<a,-@ 证. 远训 注意： 当0<位，s2时，0=a, 当受<血，<时，0=位， 总结： 对异面直线所成角的几点强调： ①异面直线所成角的范围为0， 其余弦值一定是非负数. ②异面直线所成的角的 求解思路是通过异面直 线的方向向 量，转化为求方向向量夹角余弦值的绝对值 ③异面直线所成的也可以通过几何法求解，求解思路是通过 平移异面直线为相交直线，转化为两条相交直线所成的角 (2)用向量方法解决直线 与平面所成的角的问题 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量 与平面的法向量的夹角 如图，直线AB与平面a相交于点B, 设直线AB与平面所成的角为0， 6 直线AB的方向向量为u, 平面的法向量为，则 如9=水os<i,i=园同同 u.n u B ② 注意： ①图中直线与平面 a所成的角0=了-位，) 此时，sin6=sin ?-位.西-cos低，或>0 ②图中直线AB与平面a所成的角0=位，)-牙 此时，sn9=sin,-=-cos,或>0 因此，sin0=cos(, 总结： 对直线与平面所成角的几点说明： ①直线与平面相交时，直线与平面所成角的范围为 ②直线与平面所成角的 正弦值的求解思路是转 化为直线 的方向向量及平面的法 向量的夹角余弦值的绝 对值. ③用向量求解直线与平 面所成角时仍遵循三步曲：“化为 向量问题”-“进行向量运算”一“回到图形问题”