1.3.2空间向量坐标系

1.3.2 空间向量坐标表示 引入：请大家回顾平面向量的相关运算性质？ 问题1: 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 加法，减法，数乘，数量积 复习引入 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 设 猜想： 探究交流 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． 例如，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 证明： 探究交流 问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、角度等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？ 探究交流 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设 设 当 时， 当 时， 能否表示为 ？ ? 探究交流 设 则 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 设 设 则 问题3：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 探究交流 O x y z 图1.3-7 这就是空间两点间的距离公式． 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单． P1 P2 探究交流 Administrator (A) - 空间两点的中点公式 问题4: 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的中点坐标公式，得出空间向量中点坐标公式并给出证明吗？ 应用拓展 P22-练习1. 小试身手 P22-练习 小试身手 O A B C x y z M N P22-练习 小试身手 O A B C x y z M N P22-练习 探究交流 P20-例2. 如图所示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 典例分析 学生找坐标 P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 典例分析 学生找坐标 P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 【变式】课本P22第4、5题 典例分析 学生找坐标 利用空间向量的坐标运算求夹角或距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)坐标运算：结合公式进行计算、论证； (4)翻译：将坐标运算的结果翻译为夹角或距离等集合语言. 方法总结 1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 课堂小结 2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<,>== 3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 ①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；向量坐标等于终点坐标减起点坐标. ②空间两点距离公式：= 【注】点A(x，y，z)到原点O的距离 课堂小结 $$