1.3.1空间向量坐标系

1.3.1 空间直角坐标系 问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？ 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算． 所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础． 复习引入 平面向量与平面直角坐标系 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }，以O为原点，分别以, 的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy. x y z i j k O 空间向量与空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz. 探究交流 空间直角坐标系定义 在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz. ||＝||＝||＝1. ·＝·＝·＝0 Oxy平面 Oyz平面 Oxz平面 ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. 它们把空间分成8个部分. 构建数学 新知1：空间直角坐标系 ③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°. ④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称该坐标系为右手直角坐标系. 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 追问1：空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同？ 探究交流 追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？ 平面直角坐标系内 空间直角坐标系内 取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， . 取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 . 探究交流 追问3：对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢？ 我们在空间直角坐标系 中可以作 . 我们在空间直角坐标系 中可以作 . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使 有序实数组 ，， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ， 探究交流 问题3: 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 ， ， 吗？ O x z A B C D 探究交流 思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？ 点 的坐标 给定的向量 的坐标 的坐标     应用空间向量基本定理确定坐标 根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标 方法总结 P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2， 以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量，，的坐标. 析：(1)D'(0, 0, 2) C(0, 4, 0) A'(3, 0, 2) B'(3, 4, 2) (2)==(0,4,0) =-=(0,0,-2) ===(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0) =+=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2) (法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。 小试身手 练习（第18页） 小试身手 P18-练习2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在Oyz平面内的射影坐标为____________ 在Oxz平面内的射影坐标为____________ 在Oxy平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3