1.2空间向量基本定理学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 空间向量与立体几何 03空间向量基本定理 空间向量与立体几何专题 ------03空间向量基本定理 一、学习目标： 1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理； 2.熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题。 二、知识梳理 1.温故知新：平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使.若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量____________，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使____________. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面， 那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把____________叫做空间的一个基底，都叫做____________。 说明：空间任意三个____________的向量都可以构成空间的一个基底. 3、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两____________，那么这个基底叫作____________，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是____________向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。____________称为空间向量的正交分解. 三、类型归纳 类型一：基底的基本概念及辨析 类型二：用基底表示空间向量 类型三：用空间向量基本定理求参数 类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题 四、类型应用 类型一：基底的基本概念及辨析 【例1】若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式训练1】已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 类型二：用基底表示空间向量 【例2】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示． 【变式训练2-1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 【变式训练2-2】 在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、． 【变式训练2-3】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 类型三：用空间向量基本定理求参数 【例3】如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值． 【变式训练3-1】若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______． 【变式训练3-2】如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则__________. 类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题 【例4-1】如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: . 【例4-2】如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. 【变式训练4-1】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.求证EG⊥AB. 【变式训练4-2】已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【变式训练4-3】棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长． $$选择性必修第一册 空间向量与立体几何 03空间向量基本定理 空间向量与立体几何专题 ------03空间向量基本定理 一、学习目标： 1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理； 2.熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题。 二、知识梳理 1.温故知新：平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使.若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面， 那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 3、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一