1.1.2空间向量的数量积运算学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 空间向量与立体几何 02空间向量的数量积运算 空间向量与立体几何专题 ------02空间向量的数量积运算 一、学习目标： 1.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法； 2.能用向量的数量积解决夹角与距离问题。 二、知识梳理 1.空间向量的夹角 定义：如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作. 空间向量a与b夹角的范围： ________． 当＝0时，a与b________________． 当＝π时，a与b________________． 当＝时，a与b________________． 2．空间向量的数量积 数量积定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即________________． 数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 3 ； ②； ③或； ④； ⑤ 3．空间两向量垂直的充要条件 ________________． 4．利用空间向量求模长与夹角 （1）在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广：________________． ________________． （2）________________． 5．投影向量：向量a向向量b投影，得到c =________________．,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。 如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））. 如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 三、类型归纳： 类型一：求空间向量的数量积 类型二：求空间向量的模长及夹角 类型三：利用空间向量证明垂直问题及求参数； 类型四：投影向量的应用 四、类型应用 类型一：空间向量的数量积的计算 【例1-1】已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（    ）． A．15 B．3 C． D．5 【变式训练1-1】已知空间向量是一组单位正交向量，，则（    ） A．15 B．21 C．45 D．36 【例1-2】如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练1-2】如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练1-3】在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 类型二： 求空间向量的模长与夹角 【例2】如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示． （2）求的长． （3）求与所成角的余弦值． 【变式训练2-1】如图，在平行六面体中，，.求： (1)； (2)的长. 【变式训练2-2】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【变式训练2-4】如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________． 【例3】如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：. 【变式训练3-1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 【变式训练3-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)判断与是否垂直． 【变式训练3-3】在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【例4】已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是______． 【变式训练4-1】已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． $$选择性必修第一册 空间向量与立体几何 02空间向量的数量积运算 空间向量与立体几何专题 ------02空间向量的数量积运算 一、学习目标： 1.掌握空间向量的数量积的定义、性质