1.1.1空间向量及其线性运算学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 空间向量与立体几何 01空间向量的基本概念及线性运算 空间向量与立体几何专题 ------01空间向量的基本概念及线性运算 1、 学习目标： 1.类比平面向量认识并理解空间向量的相关概念、及空间向量的线性运算及运算律 2.类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题. 2、 知识梳理 （一）空间向量的有关概念 1.空间向量的定义 在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.空间向量的表示 空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 来表示. 3.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图. 加法：三角形法则与平行四边形法则： 减法：三角形法则 数乘运算： (2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： 运算律(其中λ，μ∈R) (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. （二） 特殊的空间向量 零向量：规定 的向量叫做零向量，记为0 单位向量： 的向量叫做单位向量 相反向量：与向量a长度相等而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有 相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 的有向线段表示同一向量或相等向量 （三）共线向量及共线向量定理 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 2．方向向量： 如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l. 4．共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量． 5．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 三、考点应用举例 考点一：空间向量的基本概念 例1．（1）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 （2）如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： （1）单位向量有__________________； （2）模为的向量有_________个； （3）与相等的向量有_________； （4）的负向量有_________； （5）化简结果的向量：_________，_________． 针对训练1（1）．下列命题中为真命题的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 （2）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)． 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（    ）    A． B． C． D． 针对训练2：（1）．化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． （2）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 例3：如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（    ） A． B．