第1章全等三角形（手拉手模型+一线三等角模型）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（手拉手模型+一线三等角模型） 【典型例题】 题型一：手拉手模型（一般利用SAS证明三角形全等） 【例题】如图，若和都是等边三角形，求的度数． 【变式训练】 1.如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（       ） A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 2.如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． B． C．4 D． 3.如图所示，和都是等边三角形，且在同一直线上，连结交于，连接交于，连结． 求证：（1）； （2）； （3）是等边三角形． 4.已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 题型二：一线三等角模型 【例题】一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（       ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【变式训练】 1.如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________． 2.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：． 3.【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： 如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； 如图2，为正三角形，，则________； 如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 4.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 【过关检测】 1、 选择题 1．根据下列条件，能画出形状、大小确定的三角形的是 （     ） A．， B．，， C．，， D．，， 2.如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离，那么判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 3.如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 4.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（　　） A．AO＝CO B．BO＝DO C．AC＝BD D．AO＝CO且BO＝DO 5.如图，在中，，于点D，．如果，那么（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　） A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α 2、 填空题 1.如图，一形状为四边形的风筝（四边形A