北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中练习数学试卷

2023年北大附中高二年级第二学期期中练习 数 学2023.04 学校： 班级： 姓名： 成绩： 考 生 须 知 1. 本试卷共4页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟。 2. 在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4. 考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题。（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则m等于 A. 0或3　　 B. 0或 C. 1或　　 D. 1或3或0 2. 已知x>y>0，则下列不等关系中正确的是 A. cos x>cos y B. log3x<log3y C. 　　 D. 3. 已知数列的前n项和为Sn，Sn=3n+1，则a3+a4= A. 81　　　　 B. 243 C. 324　　　　 D. 216 4. 已知平面向量，则下列关系正确的是 A. (a+b)⊥b　　 B. (a+b)⊥a C. (a+b)⊥(a-b) D. (a+b)∥(a-b) 5. 已知，若，则x0所在区间为 A. 　　　 B. C. 　　　 D. (1,2) 6. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是 A. 18　　　　 B. 21　　　　 C. 36　　　　 D. 42 7. 某地举行一次民歌大赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中恰有两个人是同一省份的歌手的概率为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 8. 已知点A(-1,-1)，若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y-3=0(0≤x≤3)；②x2+y2=2；③，其中，“正三角形”曲线的个数是 A. 0　　　　 B. 1　　　　 C. 2　　　　 D. 3 9. 已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是 A. (-∞,-1)　　　 B. (-1,3) C. (-3,+∞)　　 D. (-3,1) 10. 若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是 A. 　　　 B. C. 　 D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题。（每小题5分，共25分） 11. 的展开式中含x2的项的系数是　　　　.  12. 数列的通项公式是an=-7n+30(n∈N*)，那么它的前n项和最大时n的值是　　　　.  13. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B．若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是　　　　. 14. 已知a>0，函数若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　　　　.  15. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°．若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为　　　　.  三、简答题。（共85分） 16.（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3. （1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； （2）求证：PA⊥平面PCD； （3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 17.（13分）已知函数. （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递增区间. 18.（14分）下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21. 分数段 [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 * （1）求测试成绩在[95,100]分数段内的人数； （2）现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95,100]分数段内男生的人数； （3）若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为分配到此组的3名学生中男生的人数．求ξ的分布列及期望Eξ. 19.（15分）已知椭圆过点(2,0)，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN的中点，再过P作直线l⊥MN，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标. 20