2.2 基本不等式（五大考点）-2023-2024学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第一册）

2.2基本不等式 1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式． 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 4．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” _____叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数_____它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为_____，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 直接法求最值 1．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 2．已知，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_____. 4．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若正数，满足，则的最大值为_____． 6．若，，且，则的最大值为_____． 7．已知a、，且，则ab的最大值是_____. 考点02 配凑法求最值 8．已知，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 9．已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 10．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．当时，函数的最小值为_____，此时_____． 12．当时，不等式恒成立，则a的取值范围是_____． 13．的最小值为_____． 考点03 商式求最值 14．设，则 （    ） A． B． C． D． 15．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 16．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 17．函数的最小值为_____． 18．已知，则函数的最小值是_____． 19．函数在上的最大值为_____． 20．函数的最小值为_____． 21．，则的最小值是_____，此时a＝_____． 考点04 “1"的代换求最值 22．设，且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 23．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 24．已知正实数x，y满足，则的最小值为_____． 25．已知，且满足，求的最小值是_____. 26．已知正实数、满足，则的最小值是_____. 27．已知，其中，，，则的最小值为_____． 28．若，则的最小值是_____． 考点05 利用基本不等式证明不等式 29．已知，，，且．求证：． 30．已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 31．已知，，且，求证：. 32．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 33．已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. 34．（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 考点06 基本不等式的恒成立问题 35．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 36．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为_____． 37．对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为_____. 38．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 39．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．已知，且，若恒成立，则实数的范围是 _____． 41．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2． (1)求的最小值； (2)若4x + 1﹣mxy ≥ 0恒成立，求实数m的最大值． 考点07 利用基本不等式求解实际问题 42．快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（    ） A． B． C． D． 43．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 (单位：万元)与仓库到车站的距离(单位：km)成反比，每月库存货物费 (单位：万元)与成正比．若在距离车站4 km处建仓库，则和分别为5万元和3.2万元，这家