专题03 代数式（优质类型，10大类型）-2023-2024学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

03代数式 【专题过关】 类型一、代数式中的新定义 【解惑】定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是(　　)    A． B． C． D． 【融会贯通】 1.定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则______． 2.定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数：若，则；若，则．例，；已知当，时有，则代数式的值为________． .3.定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”． （1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则____________； （2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为____________； 4.定义一种新运算：对于任意有理数和，有，为常数且，如：． (1)①＝　　（用含有m，n的式子表示）； ②若，求的值； (2)请你写出一组m，n的值，使得对于任意有理数，，均成立． 5.材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d（10）=1； 材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n） （1）根据劳格数的定义，填空：d（102）= ，d（10﹣2）= ； （2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值； （3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a=b=c． 类型二、代数式中的找规律 【解惑】一组按规律排列的式子：，，，那么第个式子是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1.观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律，____________． 2.找规律：观察算式 ； ； ； ； … (1)按规律填空 　； 　． (2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程） 3.如图1，2，3，…是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19盆花，…… (1)根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有 盆花，图5中，应该有 盆花； (2)请你根据图中花盆摆放的规律，写出第n个图形中花盆的盆数_________ 4.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图： 用含n的式子表示第n个图的钢管总数． 【分析思路】 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律． 如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）． 【解决问题】 (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律． ， ___________． (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律： ___________， ___________， ___________， ___________． (3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________． 5.有一列数，，，，，，，第1个数，第2个数，且从第2个数起，每一个数都等于它的前后两个数之和，即，，，，…． 据此可得， … 请根据该列数的构成规律计算： (1)　　，　 　； (2)　　，　　； (3)计算这列数的前2022个数的和． 类型三、代数式中的分式 【解惑】已知，且，则的值为___________． 【融会贯通】 1.若，则___________． 2.已知三个数x，y，z满足，．则的值为___________． 3.阅读材料:《见微知警》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的篮要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决: (1)已知． ①求_____；_____； ②求代数式的值． (2)若满足，求的值． 4.如果两个分式与的和为常数，且是正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如