5.4.3正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.4.3 正切函数的性质与图象 01. 正切函数单调性、最值、对称性 02. 正切函数图象 目录 03. 正切函数周期性、奇偶性 学习目标 1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法; 2.能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用. 3.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。 4.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 Topic. 01 01 复习导入 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 最值 对称性 R R [-1，1] [-1，1] 最小正周期为2π 最小正周期为2π 奇函数 偶函数 上单调递增； 上单调递减 上单调递增； 上单调递减 当时， 当时， 当时， 当时， 对称中心为； 对称轴为 对称中心为； 对称轴为 复习导入 Topic. 02 02 正切函数的周期性、奇偶性 周期性 探究：正切函数的图像是什么样的？有哪些性质？ 类比正弦、余弦函数 可以用什么方法研究正切函数的图像和性质呢？ 思考1. 正切函数的定义域？ tan x= 定义域：且 思考2. 正弦函数、余弦函数的奇偶性、周期性、单调性如何得到的？ 通过定义推理或图象得到的 周期性 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图像 探究1.正切函数f(x)=tan x的周期性 由诱导公式： 正切函数是周期函数，周期为π 补充： tan(x+) 奇偶性 探究2.正切函数f(x)=tan x的奇偶性 由诱导公式： 正切函数是奇函数 tan(x) Topic. 03 03 正切函数图象 图象 思考.你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图像及其他性质有什么帮助？ 可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 图象 探究3.如何画出函数, ∈[0, 的图象？ y x O B(x0,y0) T M A(1,0) x 如图，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 === 图象 0 y x ` 观察 单调递增，当，图像如何变化呢？ 当x趋向时，AT的长度趋向于无穷大，函数图象右上无限靠近直线 T A 图象 探究4.如何画出函数, 的图象？ （1）∵正切函数是奇函数，只要将, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象 （2）根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）． 图象 正切曲线 -1 1 Topic. 04 04 正切函数单调性、值域 性质 探究5：正切函数的单调区间. 探究6：正切函数的值域. 【值域】R x y 0 探究7：正切函数的对称性. 观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增； 由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增 观察正切函数的图像可知，正切函数的图像是中心对称图形，不是轴对称图形，关于点 对称 性质 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 对称中心 零点 x y O R π 奇函数 kπ 性质 1.判断(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数的图象是连续不断的．(　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) (4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．(　　) (5)函数y＝tanx在其定义域上是增函数．(　　) × × √ √ × 性质 2.求函数 的定义域、周期和单调区间。 即 ≠+2所以，函数的定义域是 解：由 ≠ 设z=，又， 所以=即 = 因为,都有= 所以，函数的周期为２． 性质 由 解得； 因此，函数在区间 (, ), , 上单调递增． 2.求函数 的定义域、周期和单调区间。 整体代入法 性质 方法总结 性质 性质 性质 4.已知a=tan 2,b=tan 3,c=tan 5,不通过求值判断下列大小关系,正确的是(　　). A.a>b>c B.a<b<c C