3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握椭圆的简单几何性质及其离心率对椭圆形状的影响。 2. 运用解析法（坐标法）研究椭圆的几何性质，并能利用几何性质解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 椭圆的概念及其标准方程 定义：我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆的标准方程：①焦点在：1 (0). ②焦点在：1 (0). 二、新课讲授 1、椭圆的范围 问题1 我们如何研究椭圆的几何性质呢？从哪些方面去研究？ 分析：先“形”后“数”，即我们要在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理. 椭圆的几何性质：范围、对称性、特殊点、扁平程度. 追问1 观察直角坐标系中的椭圆，你能从图上看出它的范围吗？你能利用它的方程给出证明吗？ 分析：易知，椭圆在一个特定的矩形内.为确定矩形的具体边界，我们利用方程（代数法）进行研究. 观察图象，椭圆的范围为： ， . 由椭圆的标准方程可知：1，即=1- 0， 所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式：1， 即 . 同理有 1， 即 . 这说明椭圆位于直线=± 和=± 围成的矩形框里. 2、对称性 问题2 请同学们思考椭圆具有怎样的对称性？ 分析：椭圆既是轴对称又是中心对称. 追问1 你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？ 在椭圆的标准方程1(0)中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称. 同理，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称. 综上，椭圆关于、 都对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 以代，以代，方程都不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称. 3、顶点 问题3 请同学们观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过椭圆的方程得到这些点的坐标点吗？ O 分析：椭圆与坐标轴的四个交点. 在椭圆的标准方程1(0)中，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点. 同理，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点. 因为轴、 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段， 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和， 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. O 4、离心率 问题4 观察下图，我们发现，不同椭圆它们的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 分析：椭圆的扁平程度与短轴和长轴之比，即有关. 追问1 认真观看，当椭圆的焦距发生改变时，椭圆的扁平情况会发生变化吗？ 分析：椭圆的扁平程度与焦距和长轴之比，即与有关. 追问2 椭圆的扁平程度与和有关，那我们该选择谁来刻画椭圆的扁平程度呢？ 因为，所以和本质上是相关的，它们都可以用来刻画椭圆的扁平程度.而两者对比， 和都来自于椭圆的定义，是确定椭圆曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性. 综上，我们选择来刻画椭圆的扁平程度. 椭圆1(0)的长半轴长为，半焦距为.保持长轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现越接近，椭圆越扁平.这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度. 我们把椭圆的焦距长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即. 追问3 椭圆椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变？ 因为 0 ，所以0< <1. ① 越接近1，椭圆就越扁； ② 越接近0，椭圆就越圆； ③ 特别地，=0时，即= ， 0时，椭圆的两个焦点重合，椭圆变为圆，此时方程为： . 三、巩固新知 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解：把椭圆方程化为标准方程，得 1 ， 于是= 5， =4， ==3. 因此，椭圆长轴和短轴的长分别为= 10， =8,离心率= = 两个焦点坐标分别为四个顶点坐标分别为 和 . 四、课堂小结 五、作业布置 课本P112：练习 第2,、3题 标准方程 1 1 性 质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 离心率 = (0,1) Lavf57.62.100 $$