专题 构造全等三角形常用的辅助线作法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》 专题 构造全等三角形常用的辅助线作法 题型一 利用“角平分线”构造全等三角形 解题技巧提炼 1、当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线，构造全等三角形. 2、当图中有垂直于角平分线的垂线段时，延长垂线段，构造全等三角形. 【例题1】 如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【变式1-1】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式1-2】如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问： （1）点E在∠ABC的平分线上吗？ （2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明． 【变式1-3】（2022秋•新兴县期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D． （1）求证：∠2＝∠1+∠C； （2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数． 【变式1-4】如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD； 求证：（1）∠B+∠ADC＝180°；（2）AD+AB＝2AE． 【变式1-6】已知∠MAN，AC平分∠MAN． （1）在图1中，∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC； （2）在图2中，∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； 题型二 利用“截长补短法”构造全等三角形 解题技巧提炼 在处理线段的和差问题时，常采取“截长补短”的方法；截长法是在较长的线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的部分等于另一短线段；补短法是将某短线段延长，使延长的部分等于另一短线段，或是使短线段延长至等于长线段. 【例题2】 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E． 求证：AB+CD＝BC． 【变式2-1】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 【变式2-2】截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 【变式2-4】阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 【变式2-5】（2023春•渠县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，