1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用(2) 一用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时 导入新课： 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到 平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等. 如何用空间向量解决这 些问题呢？ 学习新课： 1.点到直线的距离： 探究： 已知直线的单位向量立，A是直线1上的定点，如图， 点P是直线外一点. 如何让利用这些条件求点P到直线的距离？ 向量R在直线1上的投影向量为 则△APO是直角三角形 A A,P都是定点， 与的夹角∠PAQ都是确定的，于是可求g 再利用勾股定理，求出点P到直线的距离PQ 设巡=a,则汉在直线1上的投影向量 Ag=(迟cos PAQ)i =S:dcos∠PAg小d -a.uu 在RIAAPO中，由勾股定理，得 点到直线的距离公式： P№=巡-议=va2-a.=Va2-(a2 =Va2-(a,a2 注意： (1)在直线上可以任意选 点，但一般选较易求得 坐标 的特殊点 (2)直线的方向向量可以 任取，但必须保证计算 正确. 求点到直线的其他方法 设迟=ā，直线的方向向量b, 则cos<a,b>= a.b a6 又sin∠PAQ=sin<a,b> .PO AP.sin PAO =asin <a,b> m sin <a,b>=1-cos2<a,b> 思考： 类比点到直线的距离的求法， 如何求两条平行直线之间的 距离？ 可转化为求其中一条直线上 的点到另一条直线的距离 练习： 如图，在棱长为的正方体ABCD-A,B,C,D,中， ①)点A到直线D,C的距离为 (2)两条平行直线A,D和B,C间的 距离为 答案： (1) ;(21 2 2.点到平面的距离： 如图，己知平面c的法向量n, 点A是平面u内一点，P是平面a外一点， 过点P作平面a的垂线l, 交平面o于点Q,则是直线的方向向量， 点P到平面α的距离就是R在直线1上的投影向量？的长度 点到平面的距离公式： e-- 迟元_巡列 总结： 用向量的方法求点到平 面的距离的步骤： (1)求平面的法向量元； (2) 选择参考向量迟（其中点A为平面内任意一点）为 (3)代入点到平面的距离 公式求解距离 思考：类似地，请同学们研究 如何求两个平行平面的 距离 直线与平面平行时，直线与平面的距离可以转化为P 直线上的任意一点到平面的距离： 平面与平面平行时，两个平面间的距离可以转化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离. 练习： 如图，在棱长为的正方体ABCD-A,B,C,D,中， (1)点A到平面A,DB的距离为 (2)两个平行平面A,DB和D,CB,间的 距离为 答案： 2 )3 3 例题分析： 例6.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中， E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (I)求点B到直线AC,的距离： (2)求直线FC到平面AEC的距离. 分析： 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标 表示相关的点、直线的方向向量和平 面的法向量，再利用有关公式，通过坐 标运算得出相应的距离