吉林省长春地区2023年中考数学复习讲义——折叠问题专题

中考折叠问题 长春市九台区城子街中心学校 霍奎斌 尊敬的各位领导、老师大家好！ 很荣幸参加本学期数学的备课，并感谢领导的信任，让我向大家分享《中考折叠问题》专题。折叠这部分内容在2022年长春中考中作为22题解答题呈现给考生的，2023年长春中考中折叠问题变更为以13题填空题出现的。另外，最近几年长春市各区模拟题23题，很多都是关于作某个点关于某直线对称的问题，这部分问题也可化归到折叠问题中来进行研究。可见，折叠问题是我们这些年中考中必考内容，所以有必要深入研究一下。下面我主要从认识折叠、折叠问题分类、考查方向、折叠问题解题策略和总结5个方面对折叠问题进行阐述。 首先，要想让学生学好折叠，必须要让学生了解折叠。必须知道折叠的本质是轴对称，所以研究折叠其实就是研究轴对称。要想真正掌握这部分内容，就必须学好七年级下册教材98--106页轴对称章节的内容。并且轴对称的性质是轴对称的重中之重。掌握轴对称的性质主要从两方面入手：一是所有轴对称一定对折之后两部分完全重合，也就是两部分全等，这里可能是线段的等长，也可能是图形的全等，这是从数量关系上反映出的性质。二是对称点的连线被对称轴垂直平分，这里既有垂直这个位置关系，又含被平分这个数量关系。当然，垂直必有角等于90度，所以垂直这种位置关系是不是也隐含数量关系呢？而平分也同时说明存在中点，所以平分也是不是隐含中点这个点的位置关系呢？这里的位置关系和数量关系都是相对而言的。不知道这样理解可不可以，各位老师会后我们可以针对这个问题探讨一下。如果求形与形之间的关系，我们更多应用的是位置关系，如果求角、长度、面积、比值等时，我们更多考虑的是数量关系。 总之，这些性质是解决折叠问题的钥匙，平时有必要让学生经常巩固，我们教师也要把这一内容多当做重点去练习、去讲解。 其次，我们要了解折叠问题分哪些类？按什么标准来分？ 我从两大方面对折叠问题进行了分类： 1.从折叠次数方面分：可分为“一次折叠问题和多次折叠问题”。 2.从对称轴状态方面分又可分为“定轴折叠问题”和“动轴折叠问题”。其中定轴折叠问题还包含“一折定轴问题和多折定轴问题”。定轴折叠问题是解决折叠问题的基础。动轴折叠问题可分为“单动点动轴折叠问题”和“双动点动轴折叠问题”。 下面我们来看一下这两类折叠的相关试题和图形：从折叠次数上看 一折问题：如图，D是AB边上的中点，将ΔABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=________ 这道题是最简单的一道一次折叠问题，根据折叠的性质可以知道AD=DF，再根据已知D是AB边上的中点，可知AD=BD，从而得BD=DF，又因为∠B=50°，所以∠BDF=80°。我们看一下这道题是不是折叠性质、中点性质、等腰三角形的性质的综合应用呢？其实如果这道题改成求∠EDF做法也是一样的，但增加了一点点难度。 多折问题：如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平;再一次折叠，使D点落到EF上点G处，并使折痕经过点A。展平纸片后∠DAG=_______ 这道题是一道多次折叠问题，因为纸片ABCD是矩形，所以∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可以知道点E、点F是AD和BC的中点，可得EF//AB//CD，易知N是AM的中点，即MN=AN，又由折叠可知∠AGM=∠D=90°，所以NG=AN=MN，可得∠MAG=∠NGA=∠GAB，从而再由折叠可得∠DAM=∠MAG=∠GAB=30°，所以∠DAG=60°。此题如果改成判断ΔMGN是什么三角形，做法还是不发生变化，还是关键求出∠MAG=30°，进而求出∠NMG=60°，从而问题得证。本题只折了两次，这样的多折问题还不算复杂，2022年长春市中考第22题甚至出现三折，难度明显增加不少。 从对称轴状态方面上看，可分为“定轴折叠问题”和“动轴折叠问题”。其实上述两题同时也属于定轴折叠问题，第一题是一折定轴折叠问题，第二题是多折定轴折叠问题。定轴折叠问题是解决折叠问题的基础。 动轴折叠问题：可分为“单动点动轴折叠问题”和“双动点动轴折叠问题”。比如下图中的图一就是单动点动轴折叠，图中点E在CD上运动，AE绕点A旋转，此时点D与点D’关于直线AE对称，这里只有一个点点E在动，所以称为单动点动轴折叠问题。而第二个图形中，点E在AD上运动，点F沿折线DC-CB上运动，此时点D与点D’关于直线EF对称，这里点E与点F都在运动，所以称为双动点动轴折叠问题。 我们看一下下面两道例题： 1.单动点动轴折叠问题例题：（这道题是赫行2023-6-3 23题）如图，口ABCD 中，AB=10，AD=13，tanA= ，点P在射线AD上运动，连接PB，点A关于PB的对称点为A'，连接A‘P，A’B. (1)点P在线段AD上，当∠D