3.3 抛物线-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3　抛物线 【划重点】 1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线方程． 3．掌握抛物线的几何性质. 4．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题. 5．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 【知识梳理】 知识点一　抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点三　和抛物线有关的轨迹方程 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程． 知识点四　直线和抛物线 1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数， 即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 3．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 【例题详解】 一、求抛物线的标准方程 例1　(1)已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（    ） A． B． C． D． (2)已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（    ） A．   B．   C．   D．   (3)已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为 ． 跟踪训练1　(1)已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 (2)以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． (3)已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、抛物线定义的应用 例2　(1)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 (2)已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 (3)已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 (4)若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 . 跟踪训练2　(1)已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是点M，已知点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． (2)设抛物线的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 三、抛物线的几何性质的应用 例3　(1)（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 (2)已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 (3)O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 跟踪训练3　(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 (2)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　) A．(2,0) B．(1,0) C．(8,0) D．(4,0) 四、和抛物线有关的轨迹问题 例4 (1)动点满足方程，则点M的