21.2.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练，8题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

21.2.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 注意： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况 1.下列方程有两个相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0 【变式1-1】关于x的一元二次方程根的情况，判断正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个根，且同为负数 C．可以有一根为0 D．没有实数根 【变式1-2】判断关于 的方程 根的情况，并说明理由. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 注意： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 题型2：逆用判别式求未知数的值或取值范围 2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx-1=0，求证：方程有两个不相等的实数根． 【变式2-1】关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（    ） A．或0 B．2或0 C．2 D．0 【变式2-2】已知关于x的方程x2+kx+k-2＝0，证明不论k为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 题型3：求一元二次方程两根的和与积 3.若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ） A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6 【变式3-1】设方程的两个根为，，那么的值等于（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则（　　） A． B． C． D． 一元二次方程的根与系数的关系的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 题型4：已知一根求另一根或字母的值 4.如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是 ． 【变式4-1】若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值. 【变式4-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)当时，求另一个根的值． 题型5：利用根与系数的关系构造方程 5.如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，那么这个一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 题型6：求涉根代数式的值 6.若一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值. 【变式6-1】已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1、x2方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求+x1x2的值． 题型7：根与系数的关系与三角形综合 7.一个三角形的两边为方程 的两根，第三边长为4，则k的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)求的取值范围； (2)已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长． 【变式7-2】已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)m为何值时，四边形是菱形？ (2)若的长为3，求的周长． 题型8：根与系数中的新定义问题 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的