2023-2024学年华东师大版九年级数学上册知识点归纳

九年级数学上学期知识点归纳（华师版） 第21章 二次根式 一、二次根式 1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式。“ ”叫做二次根号，a叫做被开方数，（a≥0）表示非负数a的算术平方根。 注意： （1） 二次根号“ ”实为“”，通常根指数2省略； （2） 二次根式中，a可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式，但必须满足a≥0； （3）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“”。如=2，是二次根式，2不是二次根式。 （4）形如（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与的乘积。当b是假分数时，不能写成带分数或小数，如不能写成1或。 2、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是a≥0，即a是非负数。 由于负数没有算术平方根，所以当a＜0时，无意义，只有当a≥0时，才有意义。 注意： （1） 若被开方数中含有分母或分母中含有二次根式，则还应使分母不为零。如 , 中，a≠0，所以它们有意义的条件都是a>0。 （2） ++…+有意义的条件为A≥0, B≥0, … ,N≥0。 3、二次根式的性质 （1）二次根式的双重非负性： 因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，而非负数a的算术平方根也是非负数，即（a≥0）也是非负数，所以二次根式具有双重非负性，即 ①被开方数具有非负性，即a≥0； ②非负数a的算术平方根也具有非负性，即≥0(a≥0)。 （2）()2(a≥0)与的性质 性质 文字语言 应用及拓展 ()2=a(a≥0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 ①正用：如()2=2，()2=+2； ②逆用：若b≥0，则b=()2，如5=()2，=()2 =|a|= 任意实数的平方的算术平方根都等于它本身的绝对值 化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如=|π−4|=4−π （3）()2(a≥0)与的区别与联系 ()2(a≥0) 区别 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 a的取值范围 a为非负数 a为全体实数 结果的表达形式 ()2=a(a≥0) =|a|= 联系 ()2和的结果都是非负数，且当a≥0时，=()2 二、二次根式的运算 1、二次根式的乘除 乘法法则：=(a≥0，b≥0)； 即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 积的算术平方根：=(a≥0，b≥0)； 即积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 除法法则：=(a≥0，b＞0)； 即两个算术平方根的商，等于商的算术平方根。也可以写成=(a≥0，b＞0)。 2、 二次根式的加减 （1） 同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像，与这样的几个二次根式，称为同类二次根式。与也是同类二次根式。 同类二次根式与同类项的不同点 同类二次根式 同类项 所指对象不同 几个二次根式之间的关系 几个单项式之间的关系 判定标准不同 化为最简二次根式后看被开方数 看字母和相应的指数 判断方法不同 先化简再看被开方数 先看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同 （2） 合并同类二次根式 将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数不变。 合并同类二次根式和合并同类项的异同 合并同类二次根式 合并同类项 合并后的结果形式不同 （如合并式子 a+b−b+a） + +）a+（-）b 合并法则相同 把单项式的字母因式称为“类”，把二次根式的根号及被开方数称为“类”，则合并的法则均是：系数相加减，“类”不变 （3） 二次根式的加减 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 步骤： ①“化”:化为最简二次根式； ②“找”:找出同类二次根式； ③“合”:合并同类二次根式。 二次根式加减的运算律：二次根式的加减也满足加法交换律和结合律。 注意： ①二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，切记不是同类的二次根式不能合并，如 +不能合并。 ②二次根式的加减运算中，对于不能合并的二次根式，不要漏写。 （4） 二次根式的混合运算 ①二次根式混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。（幂的运算法则、多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用） ②二次根式的混合运算的几种常见类型及运算方法： （++）=++（其中a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）； （+）（+）=+++（其中a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）； （+）（-）=（）2-（）2=a-b（其中a≥0，b≥0）； （±）2=a+b±（其中a≥0，b≥0）。 三、二次根式的化简求值技巧 技巧一 利用