第5讲 第二章 等式与不等式（压轴30练，实验班训练题）-【精讲精练】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第5讲 第二章 等式与不等式（压轴练） 一、填空题 1．（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 2．（2021秋·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知为正实数，则的取值范围是 . 3．（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 5．（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知，均为正数，且，则的最小值为 ． 6．（2022秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 7．（2022秋·上海·高一专题练习）定义：为实数x，y中较小的数已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是 . 8．（2023·上海·高一专题练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 9．（2022秋·上海·高一专题练习）对于实数a，，函数在区间上的最大值记为，的最小值为 ． 10．（2022·上海·高一专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 11．（2022秋·上海·高一专题练习）设，若，则的取值范围为 ． 二、单选题 12．（2022·上海·高一专题练习）已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 13．（2022·上海·高一专题练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（    ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 14．（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ） A． B． C．4 D．2 15．（2022·上海·高一专题练习）设，则取得最小值时，的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 16．（2022·上海·高一专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 17．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 18．（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）（1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件； （2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）； （3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且. 19．（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 20．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 21．（2022秋·上海闵行·高一校联考期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 22．（2021·上海·高一专题练习）已知x>y>0，求x2+的最小值. 23．（2021秋·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件； （2）若不等式的解集非空，求a的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条