第67讲 直线与圆锥曲线的位置关系-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第67讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． 例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 ． 2、弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ |x1－x2|＝ 或|AB|＝ ＝ 3、中点弦所在直线的斜率 圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标． 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：＋＝1(a＞b＞0) 双曲线：－＝1(a＞0，b＞0) 抛物线：y2＝2px(p＞0) 1、（2023•甲卷（文））已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 2、（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则　　 A．2 B． C．3 D． 3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ． 4、（2022•甲卷（文））记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ．． 5、（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则　　 A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 6、（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则　　 A．的准线为 B．直线与相切 C． D． 7、（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则　　 A．直线的斜率为 B． C． D． 8、（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 9、（2023•甲卷（文））已知直线与抛物线交于，两点，． （1）求； （2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值． 1、直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)　　　　　　　　　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 2、 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3、 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________________． 4、 经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·的值为________． 考向一　 直线与圆锥曲线的位置关系 例1　已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C： (1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点． 变式1、若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，求实数k的取值集合． 变式2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________． 方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 考向