第06讲 函数的单调性-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲 函数的单调性 【人教A版2019】 ·模块一 单调性的判断 ·模块二 单调性的应用 ·模块三 课后作业 模块一 单调性的判断 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 2．判断函数单调性的方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：“同增异减”. 【考点1 函数单调性的判断】 【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 模块二 单调性的应用 1．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有四个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式； (4)求函数的最值. 2．利用函数的单调性求参数的方法 (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 3．利用函数的单调性比较大小的方法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 4．利用函数的单调性解不等式的方法 解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可. 5．利用函数单调性求最值的常用结论 (1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 【考点2 已知单调性求参】 【例2.1】（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023春·辽宁沈阳·高一校考开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．，， B． C．，， D．，， 【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点3 已知单调性比较大小】 【例3.1】（2023·全国