专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率 模型1、与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ） A．8 B．4 C． D． 例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积． 例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．    模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型） 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧． (1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点； (2)在图1中，连接交于点，连接，求证； (3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．    例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）；(3)若，且，求的面积． 例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积． 模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 例1．（2023·湖南长沙·长沙市统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，点是圆上一点，点是的中点，，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：；(2)若，的半径是3，求的长． 例4．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．    模型4、与托勒密定理相关的中点模型 图1 图2 1）同侧型: 条件