专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率 模型1、与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 例1．（2023陕西中考数学试卷）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 例2．（2023·湖北十堰·九年级校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．     (1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 例3．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点在以为直径的半圆上（点不与，两点重合），点是的中点、于点，连接交于点，连接，过点作半圆的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接，，若∶∶，求的值． 例4．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：为的切线；(2)若，，求的直径． 模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型） 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 例1．（2023·广东九年级期中）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 例2．（2023·广东惠州·统考一模）如图，在中，弦相交于点E，点B是劣弧中点，延长到点F，使，连接 (1)求证：；(2)若，求证：是的切线；(3)若，，求的长. 例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，(1)求证：；(2)若，，求的长．    例4．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在四边形中，连接，作的外接圆交于点，连接，交于点，．(1)若，求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，为的中点，则的长为______．    模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法： 甲：若添加条件，则；乙：若添加条件是劣弧的中点，则． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲、乙两人都对 D．甲、乙两人都不对 例2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（    ）      A． B． C． D． 例3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数；(2)若，求直径的长． 例4．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．    (1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变