专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD， 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 ；若，则的值为 ． 例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______． 模型2、定边对双直角共圆模型 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。 例1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 例2．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 例3．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 例4．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积； 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆. 例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆． 例2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别