专题05 全等模型-对角互补模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 全等模型-对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（2022·山东枣庄·中考模拟）在中，，，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； （2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 例3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，，，MN是过点A的直线，过点D作于点B，连接CB；过点C作，与MN交于点E． (1)连接AD，AD是AC的______倍；(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是______，与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论； (3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若，，则AB的长为______（直接写结果）； (4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______． 例4. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD． （1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．（2）探究证明：将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明； 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 例1．（2022四川宜宾八年级期末）如图1，，平分，以为顶点作，交于点，于点E. （1）求证：；（2）图1中，若，求的长； （3）如图2，，平分，以为顶点作，交于点，于点.若，求四边形的面积． 例2．（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为