3.1.1椭圆及其标准方程（第2课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用。 2. 学会从具体情境中抽象出椭圆，掌握椭圆的定义。 3.掌握椭圆定义的应用及椭圆标准方程的推导过程。 4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 1、用坐标法研究曲线方程的基本思路 ①根据椭圆的几何特征建立适当的平面直角坐标系； ②明确椭圆上的点满足的几何条件； ③将几何条件转化为代数表示，列出方程； ④化简方程； ⑤检验方程. 2、椭圆的概念及其标准方程 我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间距离叫做椭圆的焦距（ focus distance），焦距的一半称为半焦距. 我们称方程1 (0)是椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两焦点分别是 ， 的椭圆，这里 . 二、新课讲授 1、圆锥的标准方程 问题1 如果椭圆的焦点, 在轴上，且, 的坐标分别为， ，仍然令，那么椭圆方程又是什么？ O 1 (0) 焦点在，椭圆的标准方程为 1 (0). 焦点在，椭圆的标准方程为 1 (0). 例1 求合适下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为， 且经过点； （2） 3， 解： (1)法一：由于椭圆的焦点在，所以设它的标准方程为1 (0)，由椭圆的定义知 =1. + 所以=2， 则 1=3. 所求椭圆的标准方程为 1. 三、巩固新知 (1)法二：由于椭圆的焦点在，所以设它的标准方程为1 (0)，由椭圆的定义知 =1. 因为点在椭圆上，所以有 1 解方程组 解得 所求椭圆的标准方程为 1. 解法一：利用椭圆的几何特征；解法二：坐标法 解： (2) 3， ，得 解方程组 解得 当焦点在1， 当焦点在1. 例2 如图，在圆上任取一点，过点作的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？ O 分析：通过点的轨迹方程来判断的轨迹 通过建立点与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. 解： 设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得= ， = . O 因为点在圆上，所以. 把= ，= 代入方程①，得 ，即1 所以点的轨迹是椭圆. 小结： 寻求点的坐标中与已知轨迹上点坐标之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用方法. 课后思考 由例2我们发现圆与椭圆的联系，圆通过哪些方式可以得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”？ 例3 如图，设点的坐标分别为， .直线，相交于点，且它们的斜率之积是-，求点的轨迹方程. 分析：利用点的几何性质求其轨迹方程 设点的坐标为，那么直线，的斜率就可以用含的关系式分别表示.由直线，的斜率之积是-可以建立之间的关系式，进而得到点的轨迹方程. 解： 设点的坐标为，因为点的坐标为，所以直线的斜率为(≠-5). 同理直线的斜率为(≠5). 由已知，有• = -（ ≠ ±5）， 化简整理得：+ = 1（ ≠ ±5）. 所以点的轨迹是除去， 两点的椭圆. 追问1 当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点轨迹是什么？ 分析：动点的轨迹是除去， 两点的圆 小结： ①当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点的轨迹是除去， 两点的圆； ②当一个动点与两个定点连线的斜率之积小于-1时，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆； ③当一个动点与两个定点连线的斜率之积在区间（-1,0）时，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆； ④当一个动点与两个定点连线的斜率之积是个正数时，动点的轨迹是双曲线. 15 四、课堂小结 1、研究曲线方程的基本思路 五、作业布置 课本P109：练习 第4题 2、椭圆的标准方程： ①焦点在：1 (0). ②焦点在：1 (0). $$