2023-2024学年人教版九年级数学上学期知识点归纳

九年级数学上学期知识点归纳（人教版） 第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 3、一元二次方程的解（根） ①概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 ②判断一个数是否是一元二次方程的根： 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。 ③关于一元二次方程根的三个重要结论： Ⅰ.a+b+c=0⇔一元二次方程有一个根为x=1； Ⅱ.a-b+c=0⇔一元二次方程有一个根为x=-1； Ⅲ.c=0⇔一元二次方程有一个根为x=0。 二、解一元二次方程 1、降次 把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)。 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 配方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②配方(写成平方形式)； ③用直接开方法降次； ④解两个一元一次方程； ⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法 公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 （1）一元二次方程根的判别式 ①内容：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=。 ②方程的根的情况： Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根。 Δ=0⇔方程有两个相等的实数根。 Δ＜0⇔方程无实数根。 （2） 一元二次方程的求根公式 ①内容：当∆≥0时，方程的实数根的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 ②公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，以避免配方过 程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ③用公式法解一元二次方程的步骤 Ⅰ.整理方程：写成一般式； Ⅱ.计算根的判别式：Δ=； Ⅲ.求根：当Δ=＞0 时，将各项系数代入求根公式； Ⅳ.写解：，。 注：当Δ==0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-。 5、因式分解法 （1）因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 （2）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项∶将方程化为一般形式； ②分解∶将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ③转化∶令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。 6、一元二次方程的根与系数的关系 （1）公式：，。 （2）内容 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两 个根的积等于常数项与二次项系数的比。 数学语言：如果方程的两个实数根是，则，。 （3） 重要结论 ①若一元二次方程的两根为，则，。 ②以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是。 3、 实际问题与一元二次方程 1、列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 ①审题找相等关系； ②设未知数； ③列方程； ④解方程； ⑤检验：检验所得结果是不是方程的解；检验方程的解是否符合实际意义。 ⑥写出答案。 2、常见实际问题 ①平均增长率（降低率）问题：a(1+x)2=n； ②几何图形问题 ③存款利息问题 ④数字问题 ⑤存款利息问题 ⑥传播、比赛与握手问题 第二十二章 二次函数 1、 二次函数概念 1、内容：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数； 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2、二次函数一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）。 3、二次函数成立的条件 ①函数解析式是整式； ②化简后自变量的最高次数为2； ③二次项系数不为0。 2、 二次函数的图象和性质 1、图象：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=ax2+bx+c。 2、抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最 低点或最高点。 3、二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 ①用描点法画二次函数y=ax2的图象的一般步骤：列表，描点，连线。 ②二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 4