第8章 第11节 圆锥曲线中的最值、范围问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第十一节　圆锥曲线中的最值、范围问题　　　　 开始 1 第十一节　圆锥曲线中的最值、范围问题　　 [方法技巧]　求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 [方法技巧] 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十四）” (单击进入电子文档) 17 谢 谢 观 看 18 [典例]　(2023·淄博一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程． [解题微点] 切入点 (1)求出焦点坐标，利用椭圆的定义求a. (2)设点A，B，设直线l的方程，将直线与椭圆方程联立，列出根与系数的关系，利用三角形面积公式及基本不等式求解 关键点 设直线方程时设x＝my＋2(m≠0) 障碍点 想不到利用换元法求解 [解]　(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，则F1(－2,0)，F2(2,0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋ ＝2，得a＝， 所以b＝＝，因此，椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以，S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝2＝2＝，令t＝>1，则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立，此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. [针对训练] (2023·杭州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－， 因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以 f(k)在区间单调递增，单调递减， 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. [典例]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a,2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． [解]　(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6， 又点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2. 因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 又y1＝t－x1，y2＝t－x2， 所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝. 由原点O到直线AB的距离不小于，得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2， 因为2p＝＝t＋1＋－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)单调递增， 所以p≥，即p的取值范围为. [针对训练] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，求|AB|的取值范围． 解：(1)依题意得解得 ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)． 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<. 设A(x1，y1)，B(x