第8章 第9节 破解解析几何问题的5大技法（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第九节　破解解析几何问题的5大技法　　　 开始 1 第九节　破解解析几何问题的5大技法　　　 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题． [微点拨] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．　　 [微点拨] (1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题． (2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　 [微点拨] 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．　　 谢 谢 观 看 46 技法一　回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [典例]　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 (　 ) A.　　　　　　　　 B． C. D． [解题观摩] 由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得 解得a2＝2，故a＝. 所以双曲线C2的离心率e＝＝. [答案]　D [针对训练] 1．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为 (　 ) A.＋y2＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：法一：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|， ∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|， ∴|AF1|＋3|AF2|＝4a. 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a， ∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)， 由F2(1,0)，＝2，得B. 由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2. ∴椭圆C的方程为＋＝1. 则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，∴＝1－22，解得a2＝3.又c2＝1， ∴b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B. 法二：由题意设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m， 则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)， 答案：B　 2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________． 解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义， 知|PF|＝xP＋m， 又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP， 则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)， 所以≥，所以的最小值为. 答案： 技法二　设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． 技法二　设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [典例]　(2023·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率