第7章 第8节 空间距离（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第八节　空间距离 开始 1 01 02 夯实基础——主干知识理清练明 强化能力——常考题点逐一连通 2 第八节　空间距离 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 空间向量与距离 (a·u)u 续表 续表 答案：D　 [方法技巧] 利用几何法求空间距离的策略 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．　　 答案：C　 [方法技巧] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 [方法技巧] 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量． (2)选择参考向量． (3)利用公式求解．　　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十三）” (单击进入电子文档) 32 谢 谢 观 看 33 直线外一点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝________，则点P到直线l的距离为PQ＝＝______________ 平面外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量， 且点P到平面α的距离PQ＝＝________＝________ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．(人教B版选择性必修①P61·T4改编)已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为 (　 ) A. B．1 C. D．2 解析：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，∴点A到直线BC的距离为d＝＝＝. 答案：A　 2．(人教B版选择性必修①P61·T3改编)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是 (　 ) A. B． C. D． 解析：以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝＝. 3．(人教A版选择性必修①P35·T3改编)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为 (　 ) A. B． C. D． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,1)，所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，则 即解得故m＝(1,1,1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 答案：B　 4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________． 解析：因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝. 答案： 方法一　几何法求空间距离 [典例]　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为 (　 ) A．4 B．2 C．2 D． (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面正三角形ABC的边长为1，侧棱AA1长为2，则点B1到平面A1BC的距离为 (　 ) A. B． C. D． [解析]　(1)如图，连接C1B，则由长方体性质得MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1. ∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2. ∴MN与平面BCC1B1的距离为2. 在正三角形ABC中，D为AB中点， 则CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB， ∴C