第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 开始 1 01 02 03 夯实基础——主干知识理清练明 强化能力——常考题点逐一连通 激活思维——细节优化微点强化 2 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有 ； ∃x0∈D，使得_________ ∀x∈D，都有 ； ∃x0∈D，使得________ 结论 M为最大值 M为最小值 单调递增 单调递减 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 2．掌握以下几个注意点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2．(苏教版必修①P121·T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是 (　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 5．(北师大版必修①P64·T2改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) [答案]　B [方法技巧]　判断函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若函数f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断 复合法 对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断 [方法技巧] 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．　　 角度2　解不等式 [例2]　(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是 (　 ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] (2)已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________． [解析]　(1)∵函数f(x)为奇函数，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D. [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　 [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．　　 2．已知函数f(x)＝ln 2－x－x3，则不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集为(　 ) A．(－4,2) B．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：由题意，x∈R，f(x)＝－xln 2－x3，易知函数f(x)在R上单调递减，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5⇒(x－2)(x＋4)>0⇒x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故选D. 答案：D　 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足