第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六节　一元二次不等式恒(能)成立问题 开始 1 第六节　一元二次不等式恒(能)成立问题　　　　　　 考法一　在R上的恒成立问题 [典例]　(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为 (　 ) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4)∪{0} C．(－∞，－4] D．(－4,0) (2)已知关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为_______． [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 　 B．[－1,3] C．(－∞，1]∪[3，＋∞) 　 D．[－3,1] 解析：关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D. 答案：D　 2．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是 (　 ) A．[－1,2) B．(－1,2] C．(－2,1) D．[－1,2] [方法技巧] 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种： (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题； (2)结合图象进行分类讨论，转为根的分布问题．　　 [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有 (　 ) A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．－4≤m<0 解析：因为关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，所以m≤(x2－4x)min，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈(0,3]，所以当x＝2时，y＝x2－4x取得最小值－4，所以m≤－4. 答案：A　 考法三　给定参数范围的恒成立问题 [典例]　若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________． [方法技巧] 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题．　　 [针对训练] 已知a∈[－1,2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________． [答案]　D [方法技巧] 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.　　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六）” (单击进入电子文档) 21 谢 谢 观 看 22 [解析]　(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝16＋4a<0，))解得a<－4. (2)当m＝0时，不等式1>0恒成立，所以m＝0符合题意； 当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m2－4m<0，)) 解得0<m<4.综上所述，m的取值范围为[0,4)． [答案]　(1)A　(2)[0,4) [方法技巧] 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.)) (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))　　 解析：关于x的不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R.当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－12<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝16a－22＋48a－2<0，))解得－1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围是(－1,2]． 答案：B　 考法二　在给定区间上的恒成立问题 [典例]　(1)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值范围是 (　 ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4))) B．(－∞，－1) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,4))) D．(－∞，－1] (2)关于x的不等式x2