第1章 第4节 基本不等式（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　基本不等式 开始 1 01 02 03 夯实基础——主干知识理清练明 强化能力——常考题点逐一连通 激活思维——细节优化微点强化 2 第四节　基本不等式 2．几个重要的不等式 (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． 5．(人教A版必修①P48·T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． [方法技巧] 拼凑法求最值的关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．　　 方法2　常数代换法 [例2]　(1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为 (　 ) A．8 B．9 C．7 D．10 [方法技巧] 常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．　　 方法3　消元法 [例3]　已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 [方法技巧] 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．　　 考法二　基本不等式的实际应用 [典例]　当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝历年总利润/运营年数)． [解]　(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元， 即二次函数开口向下，且顶点坐标为(6,110)， 可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0)， 又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10， 则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*)． [方法技巧] 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．　　 [方法技巧] 基本不等式与其他知识的交汇问题中，一般是利用其他知识得到利用基本不等式求最值的条件，如两个数的和为定值，两个数的积为定值等，然后根据此定值求其他代数式的最值．　　 2．若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是___． 拓展深化·练创新思维——三元基本不等式及柯西不等式 1．三元基本不等式的应用 2．设x，y，z是实数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是 (　 ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 2．柯西不等式的应用 3．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，则ax＋by的取值范围是 (　 ) A．[0,2] B．[－1,1] C．[－2,2] D．[0,1] 解析：利用柯西不等式，得1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时等号成立，解得－1≤ax＋by≤1. 答案：B　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档) 41 谢 谢 观 看 42 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． a>0，b>0 a＝b 2ab eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) eq \b\lc\ \rc\}(\