第2章 第5节 幂函数与二次函数（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　幂函数与二次函数 开始 1 01 02 03 夯实基础——主干知识理清练明 强化能力——常考题点逐一连通 激活思维——细节优化微点强化 2 第五节　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是 ，α是常数． 自变量 (2)5个常见幂函数的性质 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 (2)二次函数的图象与性质 幂函数的图象和性质 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是 (　 ) 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：x∈[1，a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴1<a≤3. 答案：(1,3] 4．(人教A版必修①P91·T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是_______．(用“<”连接) 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案：c<b<a 考法一　幂函数的图象和性质(自主练通) 1．(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm2－6在(0，＋∞)上是增函数，则以下说法正确的是 (　 ) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 [一“点”就过] (1)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　　 考法二　求二次函数的解析式 [典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式． [方法技巧] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式． 解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 考法三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 [例1]　如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图 象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确 的是 (　 ) A．b2<4ac 　　　 B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 　　　 D．5a<b [方法技巧]　识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 [例2]　(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________． (2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a. 当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1. [答案]　(1)－1或2　(2)[0,2] (2)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. [方法技巧] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．　　 角度3　与二次函数有关的恒成立问题 [例3]　已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为______． [解析]